概率分布是统计学中常用的数学模型，用于描述随机变量的取值和出现的概率。下面将介绍八种常见的概率分布及其公式和可视化，包括：离散分布（二项分布、泊松分布）、连续分布（均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布、卡方分布）。

1. 二项分布（Binomial Distribution）：

公式：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

其中，n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。

可视化：二项分布通常以柱状图或折线图来展示。

2. 泊松分布（Poisson Distribution）：

公式：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!

其中，λ为单位时间（或单位面积）平均发生事件的次数。

可视化：泊松分布通常以柱状图或折线图来展示。

3. 均匀分布（Uniform Distribution）：

公式：f(x) = 1 / (b-a)，a ≤ x ≤ b

其中，a为区间的下界，b为区间的上界。

可视化：均匀分布为一个平坦的矩形，表示所有取值的概率均相等。

4. 正态分布（Normal Distribution）：

公式：f(x) = (1 / (√(2π) * σ)) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))

其中，μ为均值，σ为标准差。

可视化：正态分布呈钟形曲线，以均值为中心对称。

5. 指数分布（Exponential Distribution）：

公式：f(x) = λ * e^(-λx)，x ≥ 0

其中，λ为速率参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。

可视化：指数分布为一个递减的曲线。

6. 伽玛分布（Gamma Distribution）：

公式：f(x) = (x^(k-1) * e^(-x/θ)) / (θ^k * Γ(k))

其中，k为形状参数，θ为尺度参数，Γ为伽玛函数。

可视化：伽玛分布为一个右偏的曲线。

7. 贝塔分布（Beta Distribution）：

公式：f(x) = (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / B(α,β)

其中，α为形状参数，β为形状参数，B(α,β)为贝塔函数。

可视化：贝塔分布呈现不同形状的曲线，可以左偏、右偏或对称。

8. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：

公式：f(x) = (1 / (2^(k/2) * Γ(k/2))) * (x^(k/2-1) * e^(-x/2))

其中，k为自由度参数，Γ为伽玛函数。

可视化：卡方分布呈右偏的曲线。

以上是八种常见的概率分布以及其公式和可视化。每种概率分布都有其独特的特点和应用领域，在实际问题中根据数据的分布特征选择合适的概率分布模型进行建模和分析。