在数学中，三角函数是一个重点知识，特别是任意角的三角恒等变换公式，需要我们重点掌握。

今天我们就来依次看一下三角公式的推导：

我们首先来看一下两角余弦差的公式推导，看一下公式是怎么来的。这节课，我们借助向量为工具进行推论。

所以说，在讲解之前，大家需要了解向量的运算（加减法），以及向量的数量积运算。

解释：两向量的点乘等于两向量的模乘以构成夹角的余弦值。

其次就是，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

解释：由平面向量的数量积的表示，向量数量积的运算可以转化为向量的坐标运算。

以上两个知识点，用用来推导余弦差公式的，大家要牢记。接下来我们来看看，怎么进行推论公式，我们根据单位圆进行研究。

第一、两角和与差的余弦公式：

在单位圆中，令∠XOB＝β，∠XOA＝α，则∠AOB＝α－β，那么可得点A的坐标为（cos α ，sin α），点B的坐标为（cosβ ，sinβ ），其中O为直角坐标的原点（0，0）。

根据坐标点，可得向量OA,OB

此时根据两向量的数量积运算，转化为坐标运算即可。

然后再根据数量积运算，将cos（ α－β ）表达出来，就可以得到两角余弦差的运算公式。

将两向量的点乘运算两种形式结合起来，就可以得到需要的结果。

我们通过单位圆以及向量的运算，将两角余弦差公式推导了出来，接下来我们再来看一下余弦的两角和公式，应该怎样去表达。

注解：余弦和公式的推导，大家可以根据余弦差公式进行求解，我们可以令《β＝－β》，那么cos（α＋β）＝cos[α－（－β）]，然后再结合诱导公式，就可以得到余弦两角和公式。

由此可得，和差积余弦公式为：

第二、两角和与差的正弦公式：

正弦公式也可以根据两角差的余弦公式推导，我们可以根据诱导公式，将余弦转换成正弦。（这里进行转换时，可以根据奇变偶不变，符号看象限进行求解）

从而可得，两角和的正弦公式。

我们再来看一下，两角差的正弦公式推导，在进行该公式推导时，可以借助两角和的正弦公式进行转化，令《β＝－β》。就可以得到sin[α＋（－β）]＝sin（α－β）。然后根据两角和的正弦公式展开即可。

通过上述讨论，我们可以将两角和与差的正弦公式进行整合，如下所示。

第三、二倍角公式：

正弦的二倍角公式，可以运用两角和的正弦公式进行推导，令《β＝α》，那么：

余弦的二倍角公式，可以根据两角和的余弦公式进行推导，令《β＝α》，那么：

我们根据sin²α＋cos²α＝1，还可以将上述二倍角公式进行转化，如下所示：

第四、降幂扩角公式：

可以根据正弦，余弦的二倍角公式进行转化，从而可得如下所示：

第五、升幂缩角公式：

这一类公式也是通过倍角公式进行变换，只需要移项即可得到。

第六、半角公式：

半角公式的推导中，我们可以在正弦，余弦二倍角公式中，用α代2α，以α/2代α进行推导。

今天的知识点就讲到这里，大家下去过后可以看一下下面的练习题。